คำถาม :
ให้ชั่งน้ำหนักลูกเหล็ก 12 ลูก เพื่อหาลูกเหล็กลูกเดียว ที่มีน้ำหนักต่างจากอีก 11 ลูกที่มีน้ำหนักเท่ากันหมด โดยใช้เครื่องชั่งสองแขน ซึ่งบอกน้ำหนักได้เพียงว่า ข้างใดหนักกว่ากัน อนุญาตให้ชั่งได้เพียง 3 ครั้งเท่านั้น จะชั่งอย่างไร จึงจะสามารถ หาลูกเหล็กที่มีน้ำหนัก แตกต่างจากลูกอื่นได้ และสามารถบอกได้ด้วย ลูกนั้นหนักกว่า หรือเบากว่า ลูกอื่นอีก 11 ลูก
เฉลย :
ขอให้สัญลักษณ์ลูกเหล็กแต่ละลูกเพื่อความง่ายในการอธิบายเฉลยดังนี้
ABCD EFGH IJKL เป็นลูกเหล็ก 12 ลูก
ชั่งครั้งที่ 1 : ชั่ง ABCD กับ EFGH โดยวาง IJKL แยกไว้
ผลของการชั่งครั้งนี้แบ่งเป็น 3 อย่าง คือ
กรณี 1 การชั่งครั้งนี้ หนักเท่ากันทั้งสองข้าง
กรณี 2 การชั่งครั้งนี้ ข้าง ABCD หนักกว่าข้าง EFGH
กรณี 3 การชั่งครั้งนี้ ข้าง ABCD เบากว่าข้าง EFGH
(ซึ่งหลักการแก้ปัญหาของกรณี 1.3 เหมือนกรณี 1.2 จึงจะไม่ขออธิบาย 1.3)
ในกรณี 1
แสดงว่า ABCD EFGH ถือเป็นลูกเหล็กที่มีน้ำหนักเท่ากันทั้งหมด
จึงจะขอเปลี่ยนชื่อเรียกลูกเหล็กทั้ง 8 ลูกนี้เป็น SSSS SSSS หมายถึง มีน้ำ้หนักมาตรฐาน
ชั่งครั้งที่ 2 ในกรณี 1 : ชั่ง IJK กับ SSS แล้วเหลือ L กับ S SSSS แยกไว้
ผลของการชั่งครั้งนี้แบ่งเป็น 3 อย่าง คือ
กรณี 1.1 การชั่งครั้งนี้ หนักเท่ากันทั้งสองข้าง แสดงว่า L เป็นลูกเหล็กที่แตกต่าง
และการชั่งครั้งที่ 3 ก็ชั่ง L กับ S ก็จะสามารถบอได้ว่า L หนักกว่าหรือเบากว่าลูกอื่น ๆ
กรณี 1.2 การชั่งครั้งนี้ ข้าง IJK หนักกว่าข้าง SSS
กรณี 1.3 การชั่งครั้งนี้ ข้าง IJK เบากว่าข้าง SSS
(ซึ่งหลักการแก้ปัญหาของกรณี 1.3 เหมือนกรณี 1.2 จึงจะไม่ขออธิบาย 1.3)
ในกรณี 1.2
แสดงว่า I J หรือ K มีลูกใดลูกหนึ่งหนักกว่าลูกอื่น
ดังนั้น ในการชั่งครั้งที่ 3 จึงเป็นการชั่งระหว่าง I กับ J และแยก K ไว้
ถ้าผลการชั่งนี้ ข้างใดหนักกว่าก็แสดงว่าลูกนั้นหนักกว่าลูกอื่น ๆ ทั้งหมด
แต่ถ้า หนักเท่ากันทั้งสองข้าง แสดงว่า K เป็นลูกที่หนักกว่าลูกอื่น ๆ ทั้งหมด
ในกรณี 2 ที่ข้าง ABCD หนักกว่าข้าง EFGH โดยมี IJKL เป็นลูกเหล็กที่หนักตามมาตรฐาน
จึงขอเรียก
ABCD เป็น H1 H2 H3 H4 หมายถึงว่า ถ้าลูกใดลูกหนึ่งเป็นลูกที่น้ำหนักไม่มาตรฐาน ก็จะเป็นลูกที่หนักกว่ามาตรฐาน
EFGH เป็น L1 L2 L3 L4 หมายถึงว่า ถ้าลูกใดลูกหนึ่งเป็นลูกที่น้ำหนักไม่มาตรฐาน ก็จะเป็นลูกที่เบากว่ามาตรฐาน
IJKL เป็น S1 S2 S3 S4 หมายถึงว่า เป็นลูกเหล็กที่หนักตามมาตรฐานทุกลูก
ชั่งครั้งที่ 2 ในกรณี 2 : H1 H2 L1 กับ H3 H4 L2 โดยแยก L3 L4 S1 S2 S3 S4 ไว้
ผลของการชั่งครั้งนี้แบ่งเป็น 3 อย่าง คือ
กรณี 2.1 การชั่งครั้งนี้ หนักเท่ากันทั้งสองข้าง แสดงว่า L3 หรือ L4 มีลูกใดลูกหนึ่งที่เบากว่ามาตรฐาน
ดังนั้น ในการชั่งครั้งที่ 3 จึงเป็นการชั่งระหว่าง L3 กับ L4 เพื่อหาลูกที่เบากว่ามาตรฐาน
กรณี 2.2 การชั่งครั้งนี้ ข้าง H1 H2 L1 หนักกว่าข้าง H3 H4 L2
กรณี 2.3 การชั่งครั้งนี้ ข้าง H1 H2 L1 เบากว่าข้าง H3 H4 L2
(ซึ่งหลักการแก้ปัญหาของกรณี 2.3 เหมือนกรณี 2.2 จึงจะไม่ขออธิบาย 2.3)
ในกรณี 2.2 ที่ข้าง H1 H2 L1 หนักกว่าข้าง H3 H4 L2
แสดงว่า H1 หรือ H2 ลูกใดลูกหนึ่งเป็นลูกที่หนักกว่ามาตรฐาน หรือ L2 เป็นลูกที่เบากว่ามาตรฐาน
ดังนั้น การชั่งครั้งที่ 3 จึงชั่งระหว่าง H1 กับ H2 เพื่อหาลูกที่หนักกว่ามาตรฐาน
หรือถ้าหนักเท่ากัน ก็แสดงว่า L2 เป็นลูกที่เบากว่ามาตรฐาน
จบการชั่ง 3 ครั้งได้ลูกที่หนักต่างจากมาตรฐาน และบอกได้ว่าหนักกว่าหรือเบากว่ามาตรฐานดว้ย
คำตอบที่ถูกต้องมีมากกว่าหนึ่งวิธี หากใครมีคำตอบอื่นที่แตกต่างไปจากนี้ จะฝากไว้ให้ดูเล่นก็ยินดี
หรือใครจะลองคิดข้อที่ยากขึ้นไปอีกก็เชิญ เครื่องชั่งสองแขนกับลูกเหล็ก 36 ลูก
