ปัญหา : เครื่องชั่งสองแขนกับลูกเหล็ก 12 ลูก (พร้อมเฉลย)

ปัญหา : เครื่องชั่งสองแขนกับลูกเหล็ก 12 ลูก
คำถาม :
ให้ชั่งน้ำหนักลูกเหล็ก 12 ลูก เพื่อหาลูกเหล็กลูกเดียว ที่มีน้ำหนักต่างจากอีก 11 ลูกที่มีน้ำหนักเท่ากันหมด โดยใช้เครื่องชั่งสองแขน ซึ่งบอกน้ำหนักได้เพียงว่า ข้างใดหนักกว่ากัน อนุญาตให้ชั่งได้เพียง 3 ครั้งเท่านั้น จะชั่งอย่างไร จึงจะสามารถ หาลูกเหล็กที่มีน้ำหนัก แตกต่างจากลูกอื่นได้ และสามารถบอกได้ด้วย ลูกนั้นหนักกว่า หรือเบากว่า ลูกอื่นอีก 11 ลูก

เฉลย :
ขอให้สัญลักษณ์ลูกเหล็กแต่ละลูกเพื่อความง่ายในการอธิบายเฉลยดังนี้
ABCD EFGH IJKL เป็นลูกเหล็ก 12 ลูก

ชั่งครั้งที่ 1 : ชั่ง ABCD กับ EFGH โดยวาง IJKL แยกไว้
ผลของการชั่งครั้งนี้แบ่งเป็น 3 อย่าง คือ
กรณี 1 การชั่งครั้งนี้ หนักเท่ากันทั้งสองข้าง
กรณี 2 การชั่งครั้งนี้ ข้าง ABCD หนักกว่าข้าง EFGH
กรณี 3 การชั่งครั้งนี้ ข้าง ABCD เบากว่าข้าง EFGH
(ซึ่งหลักการแก้ปัญหาของกรณี 1.3 เหมือนกรณี 1.2 จึงจะไม่ขออธิบาย 1.3)

ในกรณี 1
แสดงว่า ABCD EFGH ถือเป็นลูกเหล็กที่มีน้ำหนักเท่ากันทั้งหมด
จึงจะขอเปลี่ยนชื่อเรียกลูกเหล็กทั้ง 8 ลูกนี้เป็น SSSS SSSS หมายถึง มีน้ำ้หนักมาตรฐาน
ชั่งครั้งที่ 2 ในกรณี 1 : ชั่ง IJK กับ SSS แล้วเหลือ L กับ S SSSS แยกไว้
ผลของการชั่งครั้งนี้แบ่งเป็น 3 อย่าง คือ
กรณี 1.1 การชั่งครั้งนี้ หนักเท่ากันทั้งสองข้าง แสดงว่า L เป็นลูกเหล็กที่แตกต่าง
  และการชั่งครั้งที่ 3 ก็ชั่ง L กับ S ก็จะสามารถบอได้ว่า L หนักกว่าหรือเบากว่าลูกอื่น ๆ
กรณี 1.2 การชั่งครั้งนี้ ข้าง IJK หนักกว่าข้าง SSS
กรณี 1.3 การชั่งครั้งนี้ ข้าง IJK เบากว่าข้าง SSS
(ซึ่งหลักการแก้ปัญหาของกรณี 1.3 เหมือนกรณี 1.2 จึงจะไม่ขออธิบาย 1.3)

ในกรณี 1.2
แสดงว่า I J หรือ K มีลูกใดลูกหนึ่งหนักกว่าลูกอื่น
ดังนั้น ในการชั่งครั้งที่ 3 จึงเป็นการชั่งระหว่าง I กับ J และแยก K ไว้
ถ้าผลการชั่งนี้ ข้างใดหนักกว่าก็แสดงว่าลูกนั้นหนักกว่าลูกอื่น ๆ ทั้งหมด
แต่ถ้า หนักเท่ากันทั้งสองข้าง แสดงว่า K เป็นลูกที่หนักกว่าลูกอื่น ๆ ทั้งหมด

ในกรณี 2 ที่ข้าง ABCD หนักกว่าข้าง EFGH โดยมี IJKL เป็นลูกเหล็กที่หนักตามมาตรฐาน
จึงขอเรียก
ABCD เป็น H1 H2 H3 H4 หมายถึงว่า ถ้าลูกใดลูกหนึ่งเป็นลูกที่น้ำหนักไม่มาตรฐาน ก็จะเป็นลูกที่หนักกว่ามาตรฐาน
EFGH เป็น L1 L2 L3 L4 หมายถึงว่า ถ้าลูกใดลูกหนึ่งเป็นลูกที่น้ำหนักไม่มาตรฐาน ก็จะเป็นลูกที่เบากว่ามาตรฐาน
IJKL เป็น S1 S2 S3 S4 หมายถึงว่า เป็นลูกเหล็กที่หนักตามมาตรฐานทุกลูก
ชั่งครั้งที่ 2 ในกรณี 2 : H1 H2 L1 กับ H3 H4 L2 โดยแยก L3 L4 S1 S2 S3 S4 ไว้
ผลของการชั่งครั้งนี้แบ่งเป็น 3 อย่าง คือ
กรณี 2.1 การชั่งครั้งนี้ หนักเท่ากันทั้งสองข้าง แสดงว่า L3 หรือ L4 มีลูกใดลูกหนึ่งที่เบากว่ามาตรฐาน
  ดังนั้น ในการชั่งครั้งที่ 3 จึงเป็นการชั่งระหว่าง L3 กับ L4 เพื่อหาลูกที่เบากว่ามาตรฐาน
กรณี 2.2 การชั่งครั้งนี้ ข้าง H1 H2 L1 หนักกว่าข้าง H3 H4 L2
กรณี 2.3 การชั่งครั้งนี้ ข้าง H1 H2 L1 เบากว่าข้าง H3 H4 L2
(ซึ่งหลักการแก้ปัญหาของกรณี 2.3 เหมือนกรณี 2.2 จึงจะไม่ขออธิบาย 2.3)

ในกรณี 2.2 ที่ข้าง H1 H2 L1 หนักกว่าข้าง H3 H4 L2
แสดงว่า H1 หรือ H2 ลูกใดลูกหนึ่งเป็นลูกที่หนักกว่ามาตรฐาน หรือ L2 เป็นลูกที่เบากว่ามาตรฐาน
ดังนั้น การชั่งครั้งที่ 3 จึงชั่งระหว่าง H1 กับ H2 เพื่อหาลูกที่หนักกว่ามาตรฐาน
หรือถ้าหนักเท่ากัน ก็แสดงว่า L2 เป็นลูกที่เบากว่ามาตรฐาน

จบการชั่ง 3 ครั้งได้ลูกที่หนักต่างจากมาตรฐาน และบอกได้ว่าหนักกว่าหรือเบากว่ามาตรฐานดว้ย

คำตอบที่ถูกต้องมีมากกว่าหนึ่งวิธี หากใครมีคำตอบอื่นที่แตกต่างไปจากนี้ จะฝากไว้ให้ดูเล่นก็ยินดี

หรือใครจะลองคิดข้อที่ยากขึ้นไปอีกก็เชิญ เครื่องชั่งสองแขนกับลูกเหล็ก 36 ลูก

ปัญหา : เครื่องชั่งสองแขนกับลูกเหล็ก 36 ลูก

ให้ชั่งน้ำหนักลูกเหล็ก 36 ลูก เพื่อหาลูกเหล็กลูกเดียว ที่มีน้ำหนักต่างจากอีก 35 ลูกที่มีน้ำหนักเท่ากันหมด โดยใช้เครื่องชั่งสองแขน ซึ่งบอกน้ำหนักได้เพียงว่า ข้างใดหนักกว่ากัน อนุญาตให้ชั่งได้เพียง 4 ครั้งเท่านั้น จะชั่งอย่างไร จึงจะสามารถ หาลูกเหล็กที่มีน้ำหนัก แตกต่างจากลูกอื่นได้ และสามารถบอกได้ด้วย ลูกนั้นหนักกว่า หรือเบากว่า ลูกอื่นอีก 35 ลูก

ถ้าคิดไม่ออก ก็ลองข้อนี้ดูก่อน เครื่องชั่งสองแขนกับลูกเหล็ก 12 ลูก

คณิตคิดเล่น กับเศษจากการหารด้วย ...

คณิตศาสตร์ (Mathematics) ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ (Natural Science) อย่างฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา เนื่องจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ เกิดจาก การศึกษาความเป็นมาเป็นไปของธรรมชาติ อย่างเป็นระบบ คณิตศาสตร์ ไม่ได้เกิดจาก การศึกษาความเป็นมาเป็นไปของธรรมชาติ วิกิพีเดียจัดคณิตศาสตร์เป็น Formal Science อันหมายถึง วิทยาศาสตร์ที่ว่าด้วยเรื่องของการศึกษา ค้นคว้า คิดค้น ระบบที่เป็นนามธรรม (abstract formal systems) ซึ่งประกอบด้วย คณิตศาสตร์ สถิติ และบางส่วนที่เป็นทฤษฎี ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ (computer science) เป็นต้น

เรามาลองเรียนรู้คณิตศาสตร์ เหมือนอย่างที่เราเรียนรู้วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ตามตำราแบบเรียน ด้วยวิธีการสังเกต ทำการทดลอง หาเหตุผล และสรุปเป็นทฤษฎีดูเล่น ๆ ไม่จำเป็นต้องอาศัยความรู้มากมาย แต่เป็นการประยุกต์ใช้ความรู้พื้น ๆ เล็กน้อย มาใช้อธิบาย เพื่อหาข้อสรุป เด็กมัธยมก็สามารถลองทำได้ด้วยตนเอง

มาลองคิดดูเล่น ๆ ว่า ถ้ากำหนดเลขจำนวนหนึ่งมาให้ จะสามารถรู้ได้อย่างไร เลขจำนวนนั้น เมื่อหารด้วย ... แล้วจะเหลือเศษเท่าไหร่ ความรู้ที่จะต้องใช้ก็คือ ความรู้เรื่องบวกลบคูณหาร และตัวประกอบเท่านั้นเอง เป็นเพียงความรู้ระดับประถม หรือมัธยมต้น ส่วนที่เหลือ จะเป็นความรู้ที่เราจะสร้างขึ้นด้วยกัน ขอเริ่มจากการหาเศษจากการหารด้วย 2 ก่อน จากนั้นจะมาลองเปลี่ยนเป็น การหาเศษจากการหารด้วย 10, 5; 9, 3; 20, 4, 8, 16; 6, 12, 15, 18; 11 ดูในลำดับต่อ ๆ ไป

เศษจากการหารด้วย 2

เลขหลายหลักหารด้วย 2 แล้วเหลือเศษเท่าไหร

1002394 หารด้วย 2 ลงตัว (เหลือเศษ 0) เพราะเป็นเลขคู่
4546425 หารด้วย 2 เหลือเศษ 5 เพราะเป็นเลขคี่

เลข 2 หารอะไรได้เศษเท่าไหร่ อยู่ที่ว่าเลขนั้นเป็นเลขคู่หรือเลขคี่
คงไม่ต้องให้เหตุผลมากมาย เนื่องจากทุกคนคงจะทราบกันดีอยู่แล้วตั้งแต่เด็ก

เศษจากการหารด้วย 10

เลขหลายหลักหารด้วย 10 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

2784950 หารด้วย 10 ลงตัว (เหลือเศษ 0) เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 0
1840453 หารด้วย 10 เหลือเศษ 3 เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 3

เลข 10 หารอะไรก็ได้เศษเท่ากับเลขลงท้ายของเลขนั้น
ก็คงไม่ต้องอธิบายกันมากมายเช่นกัน เพราะทุกคนก็คงทราบกันดีอยู่แล้ว

อย่างไรก็ตาม เรามาลองหาเหตุผลอย่างเป็นหลักเป็นการดู จะได้เอาไว้เป็นต้นทุน ในการคิดแก้ปัญหาอื่น ๆ ที่ซับซ้อนขึ้นต่อไป

เลข 10 หารอะไรก็ได้เศษเท่ากับเลขลงท้ายของเลขนั้น ทำไม ...
(ใช้ / หมายถึง การหาร)
(ใช้ x หมายถึง การคูณ)

ทดลอง ...
เลข 10 หารเลขที่ลงท้ายด้วย 0 ลงตัว เพราะ ... (ตัวอย่าง)
1840450 / 10
= (184045 x 10) / 10
= 184045 x 10 / 10
= 184045 (นั่นคือ 1840450 หารด้วย 10 ได้ 184045 ไม่เหลือเศษ)
คือ เลขที่ลงท้ายด้วย 0 มี 10 เป็นตัวประกอบ จึงหารด้วย 10 ลงตัว

เลข 10 หารเลขอะไรได้เศษเท่ากับเลขลงท้ายของเลขนั้น เพราะ ...
(ตัวอย่าง)
1840453 / 10
= (1840450 + 3) / 10
= (1840450/10) + (3/10) ... แยกหารแต่ละตัว แล้วเอาเศษมารวมกัน (ไม่สนใจผลลัพธ์จากการหาร)
= (เศษ 0) + (เศษ 3) ... เลข 10 หารเลขที่ลงท้ายด้วย 0 ลงตัว
= เศษ 3 (นั่นคือ 1840453 หารด้วย 10 ได้เศษ 3)

สรุป เลขลงท้ายคือเศษจากการหารด้วย 10

เศษจากการหารด้วย 5

เลขหลายหลักหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

7859370 หารด้วย 5 ลงตัว (เหลือเศษ 0) เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 0
8495483 หารด้วย 5 เหลือเศษ 3 เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 3
4558397 หารด้วย 5 เหลือเศษ 2 เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 7

เลข 5 หารอะไรได้เศษเท่ากับเศษจากการหารเลขลงท้ายของเลขนั้นด้วย 5
คนส่วนใหญ่ก็คงทราบดีอยู่แล้ว

ทำไม ...

เลข 5 หารเลขที่ลงท้ายด้วย 0 ลงตัว เพราะ ...
เลขที่หารด้วย 10 ลงตัวก็จะหารด้วย 5 ลงตัวด้วย เพราะเลข 5 เป็นตัวประกอบของเลข 10 (ตัวอย่าง)
ถ้า 7859370 / 10 เหลือเศษ 0
แสดงว่า 7859370 / (5 x 2) เหลือเศษ 0
นั้นคือ 7859370 / 5 เหลือเศษ 0 ด้วย

เลข 5 หารอะไรได้เศษเท่ากับเศษจากการหารเลขลงท้ายของเลขนั้นด้วย 5 เพราะ ... (ตัวอย่าง)
4558397 / 5
= (4558390 + 7) / 5
= (4558390 / 5) + (7/5) ... แยกหารแต่ละตัว แล้วเอาเศษมารวมกัน
= (เศษ 0) + (7/5) ... เลข 5 หารเลขที่ลงท้ายด้วย 0 ลงตัว ตัดทิ้ง
= เศษจาก 7/5 = (5+2)/5 = 5/5 + 2/5 = (เศษ 0) + (เศษ 2)
= เศษ 2 (นั่นคือ 4558397 หารด้วย 5 ได้เศษ 2)

เศษจากการหารด้วย 9

เลขหลายหลักหารด้วย 9 แล้วเหลือเศษเท่าไหร

ตัวอย่าง + สังเกต
62839750385 หารด้วย 9 เหลือเศษ 6
59879529417 หารด้วย 9 เหลือเศษ 3
200000 หารด้วย 9 เหลือเศษ 2
4000 หารด้วย 9 เหลือเศษ 4
10 หารด้วย 9 เหลือเศษ 1
204010 หารด้วย 9 เหลือเศษ 7
(200000+4000+10 / 9 เหลือเศษ 2+4+1)

ลองใหม่
10000/9 = (9999+1)/9 = 9999/9 + 1/9 = 1111 + 1/9 = เศษ 1
100000000/9 = (99999999+1)/9 = 99999999/9 + 1/9 = 11111111 + 1/9 = เศษ 1
เลข 1 จะตามด้วยกี่ 0 ก็หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษ 1

70000/9 = 7x10000/9 = 7x(9999+1)/9 = 7x9999/9 + 7/9 = 7x1111 + 7/9 = เศษ 7
400000/9 = 4x100000/9 = 4x(99999+1)/9 = 4x99999/9 + 4/9 = 4x11111 + 4/9 = เศษ 4
เลขอะไร จะตามด้วยกี่ 0 ก็หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษเท่าเลขนั้น

438756/9
= (400000 + 30000 + 8000 + 700 + 50 + 6)/9
= 400000/9 + 30000/9 + 8000/9 + 700/9 + 50/9 + 6/9
= (เศษ 4 + เศษ 3 + เศษ 8 + เศษ 7 + เศษ 5 + เศษ 6) ส่วน 9
= (เศษ 4 + เศษ 5 + เศษ 8 + เศษ 7 + เศษ 3 + เศษ 6) ส่วน 9 ... สลับที่ เศษ 3 กับเศษ 5
= (เศษ 9 + เศษ 8 + เศษ 7 + เศษ 9) ส่วน 9 ... เศษ 4 กับ 5 รวมกันได้ 9
= เศษ 15 ส่วน 9 ... เศษ 9 ส่วน 9 คือ ไม่มีเศษ และ เศษ 8 กับ 7 เป็นเศษ 15
= เศษ 6 ... 15 หารด้วย 9 เหลือเศษ 6

สรุป
เลขหลายหลักหารด้วย 9 เหลือเศษเท่ากับการนำเลขแต่ละหลักมาบวกกันแล้วตัดส่วนที่บวกได้ 9 ทิ้ง
ส่วนที่ยังเหลืออยู่คือเศษ

เช่น
89543290844 / 9 ได้เศษ ... (ทำให้ดูแบบช้า ๆ)
= 8+9+5+4+3+2+9+0+8+4+4 ... ตัด เลข 9 ทิ้ง
= 8+0+5+4+3+2+0+0+8+4+4 ... ตัดเลขที่จับกลุ่มบวกกันได้ 9 ทิ้ง (5 + 4)
= 8+0+0+0+3+2+0+0+8+4+4 ... ตัดเลขที่จับกลุ่มบวกกันได้ 9 ทิ้ง (3 + 2 + 4)
= 8+0+0+0+0+0+0+0+8+0+4 ... แยกเลขผสมเลขใหม่ (แตกเลข 4 เป็น 1 + 1 + 2)
= 8+0+0+0+0+0+0+0+8+0+1+1+2 ... ตัดเลขที่จับกลุ่มบวกกันได้ 9 ทิ้ง (8 + 1)
= เศษ 2

ถ้าหากเข้าใจถึงหลักการและเหตุผลที่แท้จริง ก็จะสามารถประยุกต์ปรับปรุงวิธีได้ตามความถนัดของตนเอง

เศษจากการหารด้วย 3

เลขหลายหลักหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษเท่าไหร

ใช้หลักการเดียวกับการหารด้วย 9 เนื่องจาก 3 เป็นตัวประกอบของ 9

ตัวอย่าง
4725 / 3
= (4000 + 700 + 20 + 5)/3
= 4x1000/3 + 7x100/3 + 2x10/3 + 5/3
= 4x(999+1)/3 + 7x(99+1)/3 + 2x(9+1)/3 + 5/3
= 4x999/3 + 4/3 + 7x99/3 + 7/3 + 2x9/3 + 2/3 + 5/3
คิดเฉพาะเศษ
= 4/3 + 7/3 + 2/3 + 5/3 ... เพราะ เลขที่คูณ 9 จะหาร 3 ลงตัว
= เศษ 1 + เศษ 1 + เศษ 2 + เศษ 2 ... หาเศษแต่ละตัว
= เศษ 0 ... เพราะ รวมเศษให้เป็น 3 แล้วตัดทื้ง

เศษจากการหารด้วย 20

เลขหลายหลักหารด้วย 20 แล้วเหลือเศษเท่าไหร
(เอาไว้ใช้ประโยชน์จากการหารด้วย 4)

สังเกต
2784940 หารด้วย 20 ลงตัว เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 0 และเมื่อตัดเลข 0 ที่ลงท้ายออกแล้ว ส่วนที่เหลือเป็นเลขคู่
2784930 หารด้วย 20 เหลือเศษ 10 เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 0 และเมื่อตัดเลข 0 ที่ลงท้ายออกแล้ว ส่วนที่เหลือเป็นเลขคี่

1840463 หารด้วย 20 เหลือเศษ 3 เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 3 และเมื่อตัดเลข 3 ที่ลงท้ายออกแล้ว ส่วนที่เหลือเป็นเลขคู่
1840493 หารด้วย 20 เหลือเศษ 13 เพราะเป็นลงท้ายด้วยเลข 3 และเมื่อตัดเลข 3 ที่ลงท้ายออกแล้ว ส่วนที่เหลือเป็นเลขคี่

สาเหตุ+สังเกต

1840460 / 20
= (1840460/10)/2
= (เศษ 0)/2
= เศษ 0

1840490 / 20
= (1840490/10)/2
= 184049/2
= (จำนวนเต็ม) + 1/2 (= เศษ 1 ส่วน 2)
= (จำนวนเต็ม) + 10/20 ... เพราะ 1/2 ก็คือ 10/20
= (จำนวนเต็ม) + เศษ 10 (ส่วน 20)
เพราะ 184049 เป็นเลขคี่ ดังนัน 1840490 หารด้วย 20 จึงได้เศษ 10

1840493 / 20
= (1840490 + 3)/20
= (1840490/20) + (3/20)
= (เศษ 10) + (เศษ 3) ... 1840490/20 เหลือเศษ 10 เพราะเหตุผลด้านบน
= เศษ 13

สรุป
1840493 หารด้วย 20 เหลือเศษ 13 เพราะ 1840493 ลงท้ายด้วย 3 (ให้เศษ 3) และ เลข 9 เป็นเลขคี่ (ให้เศษ 10)
1840465 หารด้วย 20 เหลือเศษ 5 เพราะ 1840465 ลงท้ายด้วย 5 (ให้เศษ 5) และ เลข 6 เป็นเลขคู่ (ให้เศษ 0)

เศษจากการหารด้วย 4

เลขหลายหลักหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าไหร

(ปี ค.ศ. 1992 มีกี่วัน)
เลข 1992 หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้น ปี ค.ศ. 1992 มี 366 วัน
4546464 หารด้วย 4 เหลือเศษ 0
6845929 หารด้วย 4 เหลือเศษ 1
6894754 หารด้วย 4 เหลือเศษ 2
5906735 หารด้วย 4 เหลือเศษ 3
คิดอย่างไร จึงได้คำตอบโดยไม่ต้องหารจริง ๆ ทั้งหมด

ลองดู ...
เลข 4 หารเลขที่ลงท้ายด้วย 00 ลงตัว ... ตัวอย่าง
5906700 / 4
= (59067 x 100) / 4
= 59067 x 100 / 4
= 59067 x 25 เศษ 0 ... 100 หารด้วย 4 ได้ 25 เศษ 0
เพราะ 100 หารด้วย 4 ลงตัว
ดังนั้น เลขที่เป็นตัวประกอบของ 100 (คือลงท้ายด้วย 00) จึงหารด้วย 4 ลงตัว

สรุป เลขใดหารด้วย 4 จะเหลือเศษเท่ากับการนำ 4 ไปหารเลขลงท้ายสองตัว เพราะ ...
ตัวอย่าง
5906735 / 4
= (5906700 + 35) / 4
= (5906700/4) + (35/4) ... แยกหารแต่ละตัวแล้วนำเศษมารวมกัน
= (เศษ 0) + (35/4) ... เลข 4 หารเลขที่ลงท้ายด้วย 00 ลงตัว
= 35/4 = เศษ 3

ถ้าจะมองลงไปให้ละเอียดกว่านี้อีก จะพบว่า 4 เป็นตัวประกอบของ 20 (นั่นคือ 4 x 5 = 20)
จะเอามาประยุกต์ใช้อย่างไร
ตัวอย่าง
อยากทราบว่า 6894753 หารด้วย 4 เหลือเศษเท่าไหร่
ก่อนอื่น คิด 6894753 หารด้วย 20 เหลือเศษเท่าไหร่
เศษที่เหลือจากการหารด้วย 20 นำมาหารด้วย 4 อีกที จะได้ว่า 6894753 หารด้วย 4 เหลือเศษเท่าไหร่
(เป็นเรื่องของทฤษฎีจำนวนพื้น ๆ)

ตัวอย่าง
6894753 หารด้วย 4 เหลือเศษเท่าไหร่
ถ้า 6894753 / 20 = A เศษ 13 แสดงว่า 6894753 = 20 x A + 16
แสดงว่า 6894753 / 4
= (20 x A + 13) / 4
= (20 x A / 4) + (13/4) ... แยกหารแต่ละตัว
= (5 x A) + (13/4)
= (เศษ 0) + (เศษ 13 ส่วน 4)
= เศษ 1

สรุป ถ้านำ 4 ไปหารเลขหลายหลักใด ๆ ให้ดูเฉพาะเลขท้าย 2 ตัว สมมุติว่าเป็น AB
ถ้า A เป็นเลขคู่ เศษจากการหารได้จากเศษจากการนำ 4 ไปหาร B
ถ้า A เป็นเลขคี่ เศษจากการหารได้จากเศษจากการนำ 4 ไปหาร 1B

เช่น
94683125 หาร 4 ได้เศษเท่ากับเศษของ 5/4 คือ เศษ 1 ... เพราะ 2 เป็นเลขคู่
94683175 หาร 4 ได้เศษเท่ากับเศษของ 15/4 คือ เศษ 3 ... เพราะ 7 เป็นเลขคี่
94583162 หาร 4 ได้เศษเท่ากับเศษของ 2/4 คือ เศษ 2 ... เพราะ 6 เป็นเลขคู่
94683170 หาร 4 ได้เศษเท่ากับเศษของ 10/4 คือ เศษ 2 ... เพราะ 7 เป็นเลขคี่

เศษจากการหารด้วย 8

เลขหลายหลักหารด้วย 8 แล้วเหลือเศษเท่าไหร

4546464 หารด้วย 8 เหลือเศษ 0
6845927 หารด้วย 8 เหลือเศษ 7
6894753 หารด้วย 8 เหลือเศษ 1
5906738 หารด้วย 8 เหลือเศษ 2
คิดอย่างไร จึงได้คำตอบโดยไม่ต้องหารจริง ๆ ทั้งหมด

ข้อสังเกต
เลข 8 หารเลขที่ลงท้ายด้วย 000 ลงตัว เพราะ 8 เป็นตัวประกอบของ 1000
ดังนั้น เราจะสนใจเฉพาะ 3 หลักสุดท้ายเท่านั้น เลขหลักที่ 4 เป็นต้นไปหารด้วย 8 ลงตัว

เช่น
9572153 / 8
= (9572000 + 153)/8
= 9572000/8 + 153/8
= 9572x1000/8 + 153/8
= (เศษ 0) + (เศษ 1)
= เศษ 1

หลักการต่อไปของการหาเศษจากการหารเลข 3 หลักด้วย 8 เป็นการต่อยอดการหาเศษจากการหารด้วย 4

เลข 8 หาร 200 ลงตัว ดังนั้น ถ้าเลขหลักร้อย เป็นเลขคู่ ก็จะดูเฉพาะเลข 2 หลักเท่านั้น
เลข 8 หาร 40 ลงตัว ดังนั้น ถ้าเลขหลักร้อยกับหลักสิบ หารด้วย 4 ลงตัวก็ดูเฉพาะเลขหลักหน่วยเท่านั้น

เช่น
3404837348 / 8 เหลือเศษ ...
= 348 / 8 ... ตัดมา 3 หลักสุดท้ายเท่านั้น
= 148 / 8 ... เลข 3 (หลัก 100) หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษ 1 จึงมอง 348 เป็น 200 + 148 ซึ่ง 200 หารด้วย 8 ลงตัว
= 28 / 8 ... เลข 14 (หลัก 10) หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2 จึงมอง 148 เป็น 120 + 28 ซึ่ง 120 หารด้วย 8 ลงตัว
= เศษ 4

เศษจากการหารด้วย 16

เลขหลายหลักหารด้วย 16 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

หลักการต่อยอดการหาเศษจากการหารด้วย 8
เช่น
3404837298 / 16 เหลือเศษ ...
= 7298 / 16 ... ตัดมา 4 หลักสุดท้ายเท่านั้น เพราะ 16 เป็นตัวประกอบของ 10000 จึงหารหลักหมื่นลงตัว
= 1298 / 16 ... เลข 7 (หลัก 1000) หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษ 1 จึงมอง 7298 เป็น 6000 + 1298
= 98 / 16 ... เลข 12 (หลัก 100) หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 0 จึงมอง 1298 เป็น 1200 + 98
= 18 / 16 ... เลข 9 (หลัก 10) หารด้วย 8 แล้วเหลือเศษ 1 จึงมอง 98 เป็น 80 + 18
= เศษ 2 ... จากการหาร 18 ด้วย 16 จริง ๆ

สามารถนำหลักการนี้ไปประยุกต์คิดเศษจากการหารด้วย 32, 64, 128, ...

เศษจากการหารด้วย 6

เลขหลายหลักหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

อาศัยหลักการผสมผสานระหว่างหลักการที่ใช้ในการหาเศษจากการหารด้วย 3 และด้วย 4 (เป็นตัวประกอบของ 20)
กล่าวคือ 6 เป็นตัวประกอบของ 30 ดังนั้น เลขที่หารด้วย 30 ลงตัวก็หารด้วย 6 ลงตัวเช่นกัน

ตัวอย่าง
234895/6 เหลือเศษ ...
= (234890 + 5) / 6
= (234890/6) + (5/6)
= (เศษของ 234890/30)/6 + (5/6)
คิดเศษของ 234890/30
234890/30
= 23489/3 เหลือเศษ 2 ส่วน 3 (ตามหลักการหาเศษจากการหารเลขหลายหลักด้วย 3)
หรือ เศษ 20 ส่วน 30

ดังนั้น
234895/6 เหลือเศษ
= (เศษของ 234890/30)/6 + (5/6)
= 20/6 + 5/6 = 25/6 = เศษ 1

ตัวอย่างเพิ่มเติม
458489543 / 6 เหลือเศษ
= (458489540 + 3) / 6
= (45848954x10 + 3) / 6
= (2x10 + 3) / 6
= 23 / 6
= เศษ 5

573497/6 เหลือเศษ
= 17/6 ... เพราะ 57349/3 เหลือเศษ 1 จึงมอง 573497 = 573480 + 17
= เศษ 5

7505750/6 เหลือเศษ
= 50/6 ... เพราะ 750575/3 เหลือเศษ 5 จึงมอง 7505700 = 7405700 + 50
= เศษ 2 ... หารตรง ๆ ธรรมดาเลย

เศษจากการหารด้วย 12

เลขหลายหลักหารด้วย 12 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

เช่น
เลข 5739573543853490 เกินเศษโหล (12) มาเท่าไหร่

อาศัยหลักการผสมผสานต่อยอดจากการการหาเศษจากการหารด้วย 6
กล่าวคือ 12 เป็นตัวประกอบของ 60 ดังนั้น เลขที่หารด้วย 60 ลงตัวก็หารด้วย 12 ลงตัวเช่นกัน
12 เป็นตัวประกอบของ 300 ดังนั้น เลขที่หารด้วย 300 ลงตัวก็หารด้วย 12 ลงตัวเช่นกัน

ลำดับของ 3, 6, 12, 24 ก็คล้ายกับลำดับของ 2, 4, 8, 16 จึงใช้หลักการหาคำตอบคล้ายกัน

ตัวอย่าง
87427983 / 12 เหลือเศษ
= (87427900 + 83) / 12 ... แยก 2 หลักท้ายออก
= (100 + 83) / 12 ... เพราะ 874279/3 เหลือเศษ 1 จึงได้เศษ 100 จากการหาร 87427900 ด้วย 300
= 183 / 12 ... รวมเศษ
= (180 + 3) / 12 ... แยกหลักสุดท้ายออก
= (0 + 3) / 12 ... เพราะ 18/6 เหลือเศษ 0 จึงได้เศษ 0 จากการหาร 180 ด้วย 60
= เศษ 3

เศษจากการหารด้วย 15

เลขหลายหลักหารด้วย 15 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

อาศัยหลักการผสมผสานคล้ายหลักการที่ใช้ในการหาเศษจากการหารด้วย 6
กล่าวคือ 15 เป็นตัวประกอบของ 30 ดังนั้น เลขที่หารด้วย 30 ลงตัวก็หารด้วย 15 ลงตัวเช่นกัน

ตัวอย่าง
87358634 / 15 เหลือเศษ
= (87358630 + 4) / 15 ... แยกหลักหน่วยออก
= (10 + 4) / 15 ... เพราะ 8735863/3 เหลือเศษ 1 จึงมอง 87358634 = 87358620 + 14
= เศษ 14

เศษจากการหารด้วย 18

เลขหลายหลักหารด้วย 18 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

อาศัยหลักการผสมผสานคล้ายหลักการที่ใช้ในการหาเศษจากการหารด้วย 6
กล่าวคือ 18 เป็นตัวประกอบของ 90 ดังนั้น เลขที่หารด้วย 90 ลงตัวก็หารด้วย 18 ลงตัวเช่นกัน

ตัวอย่าง
948572543 / 18 เหลือเศษ
= (948572540 + 3) / 18 ... แยกหลักหน่วยออก
= (80 + 3) / 18 ... เพราะ 94857254/9 เหลือเศษ 8
= 83 / 18
= เศษ 11 ... หารตรง ๆ

เศษจากการหารด้วย 11

เลขหลายหลักหารด้วย 11 แล้วเหลือเศษเท่าไหร่

เช่น
34969341298234 / 11 เหลือเศษ ...

ฝากไว้ให้คิดเล่น

...(บอกใบ้ให้นิดว่าใช้เลขติดกันลบกัน)...

สรุปเรื่องการหาเศษจากการหาร

วิธีการที่กล่าวถึงมาทั้งหมดนี้ สามารถประยุกต์ใช้ได้กับ ตัวหารที่เป็นผลคูณ ของตัวแทนจากแต่ละเซต ต่อไปนี้
{1, 2, 4, 8, ...} x {1, 5, 25} x {1, 3, 9}
[เรียกเป็น กลุ่ม 2 กลุ่ม 5 และ กลุ่ม 3] คือ

2, 4, 8, 16, ... [จากกลุ่ม 2]
5, 25, [จากกลุ่ม 5]
3, 9, [จากกลุ่ม 3]
10, 20, 40, ... [จาก 5 กับกลุ่ม 2]
50, 100, 200, ... [จาก 25 กับกลุ่ม 2]
6, 12, 24, ... [จาก 3 กับกลุ่ม 2]
18, 36, 72, ... [จาก 9 กับกลุ่ม 2]
15, 45, 75 [จากกลุ่ม 3 กับกลุ่ม 5]

ในกลุ่ม 2 ดูเฉพาะเลขหลักท้าย ๆ

ในกลุ่ม 5 ดูเฉพาะเลขหลักท้าย ๆ

ในกลุ่ม 3 รวมเลขโดดของทุกหลัก
ในการรวมกันระหว่างกลุ่ม 3 กับกลุ่ม 2 หรือ 5 ให้ตัดเลขท้ายออกก่อน แล้วรวมเลขโดดตามแบบกลุ่ม 3 จากนั้นจึงเพิ่มเลขท้ายเข้าไปทีละหลัก และเพิ่มค่าตัวหารขึ้นทีละขั้น